Área de una curva dada en paramétricas y coordenadas cartesianas

Para encontrar el área bajo una curva en coordenadas cartesianas, integramos la función que define la curva. El área bajo una curva definida paramétricamente requiere integrar una función que depende del parámetro. El resultado es el área delimitada por la curva y el eje x.

El área se calcula entonces como la integral definida con los límites correspondientes del parámetro. El cálculo integral moderno formaliza y generaliza estas ideas. Para encontrar el área total, debemos dividir la integral en secciones donde la función sea positiva o negativa.

Los límites de integración son los valores de x que delimitan el área deseada. Esta integral calcula la acumulación de la función entre dos puntos en el eje x. Esta integral representa el área entre la curva paramétrica y el eje x.

Para una curva definida paramétricamente, el área puede ser calculada usando una integral que involucre la derivada de x con respecto al parámetro. Este proceso geométrico transforma el cálculo en una suma infinita de rectángulos infinitesimales. Permite calcular áreas de regiones complejas de manera eficiente.

Este proceso es fundamental en cálculo integral. El resultado es la magnitud del área encerrada. Necesitamos expresar tanto la función como el diferencial de x en términos del parámetro. La integral definida es una herramienta poderosa para resolver problemas geométricos. Los límites de integración deben ser los correspondientes valores del parámetro.

Sumamos los valores absolutos de estas integrales. El signo de la integral indica si el área está por encima o por debajo del eje. Al calcular el área bajo una curva paramétrica, debemos considerar la orientación de la curva. Esta derivada indica la velocidad de cambio de la coordenada x.

La altura de cada rectángulo está dada por la función, y el ancho es un infinitesimal dx. Esto convierte la integral en función del parámetro, lo que facilita la integración. Esta integral representa la suma infinitesimal de áreas a lo largo de la trayectoria.